Chương trình toán học luôn là một kỉ niệm đáng nhớ đối với bao thế hệ học sinh trong suốt những năm cấp sách đến trường. Bởi lẽ đây là môn học chính và là môn học bắt buộc học sinh phải trải qua trong suốt mười hai năm đèn sách.

Kiến thức về toán học là vô cùng bao la và rộng mở, nhưng kiến thức về chủ đề hàm số là một trong số kiến thức toán học rất quan trọng.

Đặt biệt là bài học về hàm số bậc hai. Vì hiểu rõ và nắm bắt được tình hình chung của các bạn học sinh hiện nay nên chúng tôi đã liệt kê rất nhiều kiến thức và dạng bài tập xoay quanh đến chủ đề hàm số bậc hai này để gửi đến các bạn. Mời các bạn đi cùng chúng tôi để giải đáp các vấn đề xoay quanh nó nha.

Ôn tập kiến thức về hàm số

Trước khi bước vào bài học về hàm số bậc hai thì đầu tiên chúng ta nên  củng cố lại kiến thức về hàm số. Mời các bạn ôn tập cùng chúng tôi về các dạng hàm số thường gặp trong toán học nha.

Khái niệm hàm số

• Hàm số là một quy tắc xác định mối quan hệ giữa một tập hợp các đối số và một tập hợp các giá trị. Nó được biểu diễn bằng một công thức hoặc một quy tắc cho phép tính toán giá trị đầu ra dựa trên giá trị đầu vào.
•  Hàm số thường được ký hiệu dưới dạng f(x), trong đó f là tên của hàm và x là đối số. Đối số x có thể là một số, một biểu thức hoặc một biến.
• Hàm số có thể định nghĩa trên một tập con của các số thực hoặc trên một tập hợp khác. Hàm số có thể có các thuộc tính như tính chẵn, tính lẻ, tăng, giảm, có đi.
• Cho X, Y là hai tập hợp số, ví dụ là tập hợp các số thực, hàm số f xác định trên tập hợp X, nhận các giá trị trong Y là một số quy tắc cho tương ứng cho mỗi số x1 thuộc X với một số hạng y1 duy nhất thuộc Y.

Các tính chất của hàm số

Hàm số có rất nhiều tính chất như:

• Miền xác định: Miền xác định của hàm số là tập hợp các giá trị x mà hàm số có thể nhận giá trị tại đó. Ví dụ: hàm số f(x) = 1/x^2 có miền xác định là tất cả các số thực ngoại trừ x = 0.
• Khi y là hàm số thì ta có các cách viết sau:

f: X→ Y

f: x1→ (x1)

y = f(x1)

Trong đó:

Tập X được gọi là miền xác định.

Tập Y được gọi là miền giá trị.

x1 là đối số.

y1 gọi là một hàm số.

f(x1) gọi là giá trị của hàm f tại x1.

Một số dạng hàm số thường gặp

Có rất nhiều dạng hàm số mà chúng ta hay thường gặp trong toán học, một số dạng phổ biến bao gồm:

• Hàm số bậc nhất: f(x) = ax + b, với a và b là các hệ số.
•  Hàm số bậc hai (hàm trùng phương): f(x) = ax^2 + bx + c, với a, b và c là các hệ số.
•  Hàm mũ: f(x) = a^x, với a là một số thực dương.
• Hàm số lượng giác: f(x) = A*sin(Bx + C) hoặc f(x) = A*cos(Bx + C), với A, B và C là các hằng số.
•  Hàm số logarit: f(x) = loga(x), với a là một số thực dương và x > 0.
• Hàm hằng: f(x) = c, với c là một hằng số.
• Hàm số đơn ánh: Hàm số f được gọi là hàm số đơn ánh là khi nó áp dụng lên hai đối số khác nhau và luôn cho hai giá trị khác nhau. Có nghĩa là với hai biến x1 và x2 đã cho thì ta có: x1 # x2 thì f(x1) # f(x2).
• Hàm số toàn ánh:Một hàm số được gọi là hàm số toàn ánh là khi nếu như với mọi số y thuộc Y thì ta luôn tìm được ít nhất một số x11 thuộc X sao cho f(x1) = y hay y = f(x11).
• Hàm số song ánh: Trong chương trình toán học, song ánh hay hàm song ánh, là một hàm số f từ tập X vào tập Y thoả mãn tính chất, đối với mỗi y1 thuộc Y, có một và chỉ một x1 thuộc X sao cho f(x1) = y1.

Hàm số bậc hai là gì?

Hàm số bậc 2, còn được gọi là hàm số trùng phương, là một loại hàm số trong toán học, được biểu diễn dưới dạng f(x) = ax^2 + bx + c, trong đó các hệ số thực lần lượt là a, b, c và a là một số khác 0.

Hàm số bậc 2 thường được biểu diễn bởi đồ thị hình parabol, có dạng một đường cong uốn lượn. Có tập xác định là D = R và đenta có thể tính bằng b^2 – 4ac. Đồng thời, x và y lần lượt được gọi là các biến

Trường hợp có cả hai biến x và y thì hàm số lượng giác lúc này có dạng: f(x,y) = ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f

Một số thuật ngữ của hàm số cần nhớ

Dưới đây là một số thuật ngữ cơ bản liên quan đến hàm số cần nhớ:

• Hàm số: Là một quy tắc hay một quy luật biến đổi giữa các số của hai tập hợp số.
• Miền xác định: Tập hợp các số mà đầu vào của hàm số có thể nhận giá trị.
• Miền giá trị: Tập hợp các số mà đầu ra của hàm số có thể nhận giá trị.
• Giá trị tuyệt đối: Là một giá trị không âm của một số, thường được ký hiệu là |x|.
• Đồ thị hàm số: Là một biểu đồ được tạo ra bằng cách đánh dấu các điểm (x, y) thỏa mãn đầu vào x và đầu ra y của hàm số.
• Hàm số chẵn: Một hàm số trong đó f(x) = f(-x) cho mọi giá trị của x trong miền xác định.
• Hàm số lẻ: Một hàm số trong f(x) = -f(-x) cho mọi giá trị của x trong miền xác định.
• Đồ thị hàm số chẵn: Là một đồ thị hàm số đối xứng qua trục đối xứng là trục tung (Oy).
• Đồ thị hàm số lẻ: Là một đồ thị trong đó giá trị của hàm số tại một điểm x được xác định bởi các giá trị cho trước của hàm số tại điểm đối xứng qua trục tung. Cụ thể, nếu (x, y) là một điểm trên đồ thị hàm số lẻ, thì (-x, -y) cũng là một điểm trên đồ thị đó.Một cách đơn giản để vẽ đồ thị của một hàm số lẻ là xác định các điểm x và giá trị tương ứng của hàm số, sau đó sử dụng đối xứng qua trục tung để tìm các điểm đối xứng và vẽ đồ thị.Ví dụ, hàm số f(x) = x^5 là một hàm số lẻ.
• Biến số: Biến số là một khái niệm trong toán học được sử dụng để đại diện cho một giá trị không cố định trong một biểu thức hoặc phương trình. Biến số thường được ký hiệu bằng các chữ cái như x, y, z. Khi ta gán một giá trị cụ thể cho biến số, ta có thể tính toán và xác định giá trị của các biểu thức hoặc phương trình mà biến số đó xuất hiện.

Cách giải phương trình hàm số bậc hai

Để giải phương trình hàm số bậc hai, ta làm như sau:

• Đặt phương trình hàm số bậc hai dưới dạng ax^2 + bx + c = 0, với a, b, c là các hệ số đã cho sẵn.
• Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tính toán nghiệm.Công thức nghiệm của phương trình bậc hai là:

x1 = (-b + sqrt(b^2 – 4ac)) / (2a)

x2 = (-b – sqrt(b^2 – ac)) / (2a)

Trong đó, sqrt là hàm tính căn bậc hai của hàm số.

• Thay các giá trị của a, b, c vào công thức trên để tìm nghiệm của phương trình.

Nếu delta (b^2 – 4ac) lớn hơn 0, phương trình sẽ có hai nghiệm phân biệt x1 và x2.

Nếu delta bằng 0, phương trình chỉ có một nghiệm kép x1 = x2.

Nếu delta nhỏ hơn 0, phương trình vô nghiệm.

Lưu ý: Nếu các hệ số a, b, c không phải là số thực, bạn cần sử dụng số phức để tính toán.

Các phương pháp để vẽ đồ thị hàm số bậc hai đơn giản nhất

Để vẽ đồ thị của một hàm số bậc hai, ta cần làm các bước sau:

• Tìm các thông số của hàm số: hệ số a, b, c trong phương trình hàm số y = ax^2 + bx + c.
• Xác định đồ thị của hàm số bằng cách tính các điểm trên đồ thị. Ta có thể vẽ bảng giá trị hoặc sử dụng các công thức liên quan để tính toán giá trị của hàm số tại các điểm xác định.
• Vẽ trục toạ độ x và y trên mặt phẳng.
• Vẽ các điểm đã tính được từ trên lên đồ thị, tạo thành đường cong của hàm số. Đảm bảo vẽ đủ số điểm để tạo nên một cái nhìn tổng quát nhất về hình dạng của đồ thị.
• Kiểm tra độ cao của đồ thị bằng cách xác định điểm đầu và điểm cuối của đường cong. Nếu hàm số có hệ số a dương, đồ thị sẽ có đáy hướng lên và điểm cực tiểu là điểm cuối cùng của đường cong.

Nếu hàm số có hệ số a âm, đồ thị sẽ có đỉnh hướng xuống và điểm cực đại là điểm cuối cùng

Các yếu tố để khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc hai

Để khảo sát sự biến thiên của hàm số bậc hai, ta cần xác định các yếu tố sau:

• Đạo hàm: Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số bậc hai. Hàm số bậc hai có dạng:   f(x) = ax^2 + bx + c   Trong đó, a, b, c là các hệ số của hàm số.   Đạo hàm của hàm số bậc hai sẽ là:   f'(x) = 2ax + b
• Điểm cực trị: Để tìm điểm cực trị của hàm số, ta giải phương trình f'(x) = 0. Sau khi giải phương trình này xong, ta sẽ tìm được giá trị của x tương ứng với điểm cực trị.
• Đồ thị hàm số: Dựa vào các kết quả tìm được ở bước trên, ta thể vẽ đồ thị của hàm số và xác định sự biến thiên của nó.

Nếu a > 0 (hệ số a dương): Hàm số có đồ thị hướng lên. Điểm cực trị là điểm có hoành độ x tương ứng với giá trị x tìm được ở trên. Đồ thị hàm số sẽ có dạng mở cung lên.

Nếu a < 0 (hệ số âm): hàm số có đồ thị hướng xuống. Điểm cực trị là điểm có hoành độ x tương ứng với giá trị x tìm được ở trên. Đồ thị hàm số sẽ có dạng mở cung xuống.

Hàm số bậc hai đồng biến khi nào?

Để hàm số bậc hai đồng biến trên một khoảng xác định, có hai điều kiện cần thỏa mãn:

• Hệ số của hạng số bậc hai (a) phải lớn hơn 0. Nghĩa là parabol phải mở lên.
• Hệ số của hạng số bậc một (b) phải nhỏ hơn hoặc bằng 0. Nghĩa là đồ thị của parabol không có điểm cực trị.Ví dụ: Hàm số y = 2x^2 – 3x + 1 là một hàm số bậc 2 đồng biến trên khoảng xác định nếu a > 0 và b ≤ 0. Trong trường hợp này, a = 2 > 0 và b = -3 ≤ 0.

Hàm số bậc hai nghịch biến khi nào?

Để một hàm số bậc hai nghịch biến, điều kiện là hệ số của a phải là số âm. Một hàm bậc hai có dạng: f(x) = ax^2 + bx + c, với a, b, c là các hệ số.Khi a < 0, tức hệ số a là số âm, thì đồ thị của hàm số mở cụm nghịch biến.Ví dụ: f(x) = -3x^2 + 2x + 1 là một hàm số bậc hai nghịch biến vì hệ số của a là -3 (âm).

Cách nhận biết về chiều biến thiên của đồ thị hàm số bậc hai

Hàm số bậc hai có dạng chung là f(x) = ax^2 + bx + c, trong đó a, b, c là các hằng số và a ≠ 0.Để xác định chiều biến thiên của hàm số bậc hai, ta xét dấu của hệ số a.

• Nếu a > 0, thì hàm số có chiều biến thiên tăng trên toàn miền xác định.
• Nếu a < 0, thì hàm số có chiều biến thiên giảm trên toàn miền xác định.

Ví dụ: Hàm số f(x) = x^2 – 2x + 1 là hàm số bậc 2 với a = 1, b = -2, c = 1.Vì a > 0, nên hàm số có chiều biến thiên tăng trên toàn miền xác định.

Chiều biến thiên của hàm số bậc hai là:

Đối với hàm số y= ax^2 + bx +c với a>0

• Đồng biến trên khoảng từ -b/2a đến dương vô cực.
• Nghịch biến trên khoảng từ âm vô cực đến -b/2a.
• Giá trị cực tiểu của hàm số bậc hai đại tại (-b/2a; -∆/4a). Lúc này giá trị nhỏ nhất là -∆/4a tại x= -b/2a

Đối với hàm số y=ax^2 + bx + c với a<0

• Đồng biến trên khoảng từ âm vô cực đến -b/2a.
• Nghịch biến trên khoảng từ -b/2a đến dương vô cực
• Giá trị cực đại đặt tại (-b/2a ; -∆/4a). Khi đó giá trị lớn nhất là -∆/4a đặt tại x=-b/2a.

Cách lập bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc hai

Để lập bảng biến thiên của đồ thị hàm số bậc ư, ta cần làm theo các bước sau:

• Xác định hệ số của các thành phần trong hàm số: Hàm số bậc ư có dạng f(x) = ax^f + bx^e + … + c, trong đó a, b, …, c là các hệ số, và f, e, … là các số mũ.
• Xác định miền xác định của hàm số: Miền xác định là miền giá trị của x mà hàm số được định nghĩa. Ví dụ: đối với hàm số f(x) = 1/x^2, miền xác định là R\{0} (toàn bộ tập số thực trừ 0).
• Xác định điểm cắt trục hoành: Điểm cắt trục hoành là điểm mà đồ thị cắt trục hoành (y=0). Để tìm điểm cắt trục hoành, ta giải phương trình f(x) = 0.

Một số dạng bài tập thường gặp về hàm số bậc hai

Có một số dạng bài tập thường gặp về hàm số bậc hai như sau:

• Tìm tập xác định và giá trị lớn nhất/giá trị nhỏ nhất của hàm số: Bài toán dạng này yêu cầu xác định miền xác định và tìm giá trị cực đại hoặc cực tiểu của hàm số.
• Tìm điểm cắt của đồ thị hàm số với các trục tọa độ: Bài toán dạng này yêu cầu tìm các điểm mà đồ thị của hàm số cắt với trục hoành (x = 0) và trục tung (y = 0).
• Tìm đồ thị của hàm số: Bài toán dạng này thường yêu cầu vẽ đồ thị của hàm số bậc hai trên hệ trục tọa độ.
• Tìm phương trình đường tiệm cận của hàm số bậc hai.

 Kết luận

Hy vọng qua bài viết này của chúng tôi sẽ giúp các bạn có thêm thật nhiều kiến thức bổ ích về dạng toán hàm số bậc hai này. healthyeatingclub.org chúc các bạn có thật nhiều sức khoẻ và học thật tốt để gặt hái được nhiều thành công trong tương lai.